完全平方数对半和问题的圆满解决

2019-05-14 16:32 首页 > 学术中心 > 学术交流 >
内容提要:上世纪90年代,国外数学家发现了自然数平方的对半和仍然是平方数的现象。笔者对其进行了深入研究,发现了递推特性,并提出了完全平方数对半和猜想,圆满解决了几千年来的平方数对半和问题。

内容提要:上世纪90年代,国外数学家发现了自然数平方的对半和仍然是平方数的现象。笔者对其进行了深入研究,发现了递推特性,并提出了完全平方数对半和猜想,圆满解决了几千年来的平方数对半和问题。

 

§1.导言

1992年2月,两位印度数学家发现了一组非常奇特的平方数:

       9562=913936    913+936=1849=432

           …………………………………

       9682=937024    937+024=961=312

这13个连续自然数每一个数平方的对半和仍然是平方数,而且是连续自然数的平方。

这个发现令数学家们感到十分惊讶,被称为几千年来自然数研究的“漏网之鱼”,被当代人捉住了【1】。

1996年9月,美国数学家欧文・托马斯发现了一组具有同样特点的42个平方数【2】:

98592=97199881    9719+9881=19600=1402

…………………………………

      99002=98010000    9801+0000=9801=992

国外三位数学家发现的这个平方数特性非常了不起,这是前人从来没有研究过的问题。但他们发现的只是茫茫数海中的个别现象,并没有总结出普遍规律,距离问题的解决还差的很远。于是,笔者就对这个问题进行了深入研究,并有了惊人的重大发现。

§2.顺藤摸瓜发现了平方数对半和的新特性

笔者经过反复计算研究,发现了两组具有同样性质和明显规律的平方数。

第一组是:

492=2401       24+01=25=52

392=1521       15+21=36=62

292=841       8+41=49=72

192=361       3+61=64=82

第二组是:

982=9604      96+04=100=102

882=7744      77+44=121=112

782=6084      60+84=144=122

笔者由492=2401,24+01=25=52受到启发,就顺藤摸瓜,从499、4999切入进行试验研究,并向199、1999逐渐递减,终于取得了意想不到的结果,有了新的发现:

49992=24990001    2499+0001=2500=502

    然后从4999中100,4999-100=4899

48992=24000201    2400+0201=2601=512

再从4899中100,4899-100=4799

47992=23030401    2303+0401=2704=522

    规律终于找到了,每次递减100,就会得到:

46992=22080601    2208+0601=2809=532

……………………………

32992=10883401    1088+3401=4489=672

31992=10233601    1023+3601=4624=682

    3099开始,其平方变成了7位数,无法求真正的对半和。笔者采用变通的方法,以前3位加后4位,其特性仍然成立:

30992=9603801     960+3801=4761=692

29992=8994001     899+4001=4900=702

……………………………

11992=1437601     143+7601=7744=882

10992=1207801     120+7801=7921=892

笔者逐一计算出了这40个四位数平方的对半和(包括变通),正好是连续自然数50~89各数的平方,而且准确无误。

§3.令人震惊的递推特性

然而,更为奇特的是,笔者经过进一步研究发现,上面的40个四位数平方的对半和,其特性竟然可以递推。

我们从这40个四位数中选取3个数来观察:

48992=24000201    2400+0201=2601=512

44992=20241001    2024+1001=3025=552

32992=10883401    1088+3401=4489=672

给每个四位数的个位数后面添两个9,经过笔者计算,其特性仍然是成立的:

4899992=240099020001  240099+020001=260100=5102

4499992=202499100001  202499+100001=302500=5502

3299992=108899340001  108899+340001=448900=6702

经过笔者试验研究,这个特性还可以继续递推,变成八位数、十位数、十二位数……,其特性仍然是存在的。

§4.递推特性的推广

笔者从这个递推特性受到了启发:如果从499999中每次递减1000,情况又会怎样呢?

4989992=249000002001  249000+002001=251001=5012

4979992=248003004001  248003+004001=252004=5022

…………………………………………………

1019992=10403796001   10403+796001=806404=8982

1009992=10200798001   10200+798001=808201=8992

笔者逐一计算了从498999~100999这些数的平方,求出其对半和(包括变通)并开平方,准确无误地得到501~899这连续399个自然数。

§5.再前进一步

根据递推特性,笔者再从49999999中每次递减10000,就得到:

499899992=2499000000020001  

24990000+00020001=25010001=50012

499799992=2498000300040001  

24980003+00040001=25020004=50022

…………………………………………………

100199992=100400379960001  

1004003+79960001=80964004=89982

100099992=100200079980001  

1002000+79980001=80946009=89992

笔者逐一计算了从49989999~10009999这些数的平方,求出其对半和并开平方,准确无误地得到了5001~8999这连续3999个自然数。这不能不说是一个伟大的奇迹!真所谓大千世界,无奇不有。

按照这个递推特性再一步一步继续计算下去,一定还会得到几万、几十万个具有这个特点的数。

§6.完全平方数对半和猜想

根据以上计算得出的递推规律,笔者提出完全平方数对半和猜想:

3250各数与102之积减1,其平方的对半和必定是完全平方数;

319…9(n个9)499…9(n+1个9)各数与10n+2之积减1(n=1,2,3……),其平方的对半和必定是完全平方数。

请数学爱好者予以证明。

以上新发现,是对自然数研究“漏网之鱼”的重大补充。更重要的是,这个发现圆满地解决了几千年来平方数对半和仍然是平方数的问题。

 

参考资料

1.戴宏图. 一个有趣的连续数组. 小学数学教师. 1996,6.

   2.蒋秀章.有趣的连续数组的再发现. 小学数学教师. 1997,2.   

(文稿:雷 燕、 杨勇先

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